Las evaluaciones del tipo $f(A) u$, donde $A:  H \to H$ es un operador  lineal en un espacio de Hilbert, $u \in H$ y $f$ es una función holomorfa definida al menos en el espectro de $\sigma(A)$, aparecen en un sinnúmero de situacionnes de interés, tanto teóricas como aplicadas. Tras motivar esta afirmación con algunos ejemplos, se plantean tanto  la pregunta de cómo poder estimar $\| f(A) u \|$, como la necesidad de poder llevar a cabo numéricamente dicha evacluación. Va a ser útil considerar  el  recorrido numérico de $A$
$$w(A)=\{ \langle A x, x \rangle \, : \, x \in H, \, \| x \| = 1 \},$$
conjunto que  con frecuencia podemos situar en el plano complejo, vía el método de la energía. 
Inspirado en  resultados válidos en discos (V. Newman, Berger & Stampfli, Ando & Okubo),  M. Crouziex conjeturó que
$$\| f(A) \| \le K \max_{z \in w(A) } |f(z)|,$$ siendo $K = 2$. Junto con ciertos  avances en este problema, en la charla se destaca su interés en  conexión el análisis de  los métodos de Krylov,  especialmente adecuados para problemas de grandes dimensiones en los que ya no es viable representar $A$ como una matriz. 

Esta conferencia está basada en el artículo de M. Crouzeix y C. Palencia titulado 'The numerical range is a (1 + √2)-spectral set', que ha recibido el "SIAM Activity Group on Linear Algebra Best Paper Prize" en 2021.