En las categorías suaves y analítica, una variedad paralelizada por un álgebra de Lie tiene de forma natural una estructura de grupo  de Lie local, y es en general, un revestimiento de un abierto de un cociente de un grupo de Lie por un subgrupo discreto. El teorema de Darboux-Cartan permite recuperar la estructura de grupo a partir de la integración de la forma de Maurer-Cartan.

En la categoría algebraica parece haber una riqueza mucho mayor. Por un lado existen variedades algebraicas paralelizadas por álgebras de Lie no algebraicas, es decir que no son el álgebra de Lie de ningún grupo algebraico. De la misma manera, existen paralelismos en variedades algebraicas que permiten dotarlas de una estructura de grupo de Lie analítico local, pero no de una estructura de grupo de Lie algebraico. Daremos respuesta a la siguiente cuestión, en términos de teoría de Galois diferencial: ¿Cuando un paralelismo de una variedad algebraica permite conjugarla con revestimiento de un abierto (de un cociente) de un grupo algebraico?

Se trata de un trabajo en curso, en colaboración con P. Acosta, G.
Casale y E. Paul.